キー番号と調号の決定に関するメモ

音楽 数学

MIDIのノート番号は音のピッチ（音高）を表現している。ノート番号0はC-1の音を表していて、番号が1増えると、音高は半音上がる。

このような、ピッチを使った音の表記は、しかし、キーを表現することができないという問題がある。ノート番号はピッチを表現しているため、異名同音のD♯、E♭、F𝄫を区別することはできない。

そこで、ここではピッチではなく、キーに対して番号を振る方法を考えてみる。五度圏を考えると、キーは次のように並んでいる：

... A𝄫 E𝄫 B𝄫 F♭ C♭ G♭ D♭ A♭ E♭ B♭ F C G D A E B F♯ C♯ G♯ D♯ A♯ E♯ B♯ F𝄪 C𝄪 G𝄪 ...

そこで、五度圏に並んだ順で、音名Cのキー番号を0とし、そこから完全5度上昇するごとに番号を1ずつ増やしたものを、キー番号とする。

ノート番号とキー番号の関係

オクターブの差や異名同音を無視して考えると、キー番号が1増えれば、音高は完全五度上昇、すなわち、7半音上昇する。逆に、音高が半音上昇すれば、キー番号は7増える。そして、ノート番号もキー番号も、12増えた場合は同音になる。

C-1 のノート番号・キー番号がそれぞれ0となるように定めたので、ある音のノート番号nとキー番号kの間には

k \equiv 7n \pmod{12}

n \equiv 7k \pmod{12}

の関係があることになる。

調号の決定

五度圏を使ってキー番号を定義したことからも分かるが、キー番号は調号と直接的に対応している。長調においては、主音のキー番号が、そのまま調号におけるシャープ記号の数となる。（負数の場合は、フラット記号を付ける。）また、Aのキー番号が3であることから、短調では主音のキー番号から3を引けばシャープ記号の数になることがわかる。

調号の変化記号（シャープ記号またはフラット記号）の数は最大で7個なので、長調においては主音のキー番号kを-7 \le k \le 7となるように定める必要がある。同様に、短調においては主音のキー番号を-4 \le k \le 10の範囲で定める必要がある。従って、-7 \le k \le -5の場合（主音がC♭, G♭, D♭の場合）は長調に対して同主短調が記法上存在せず、8 \le k \le 10の場合（主音がG♯, D♯, A♯の場合）は短調に対して同主長調が記法上存在しない。

このことから、同主調を必要とするならば、キー番号は-4 \le k \le 7の範囲にある12個（A♭, E♭, B♭, F, C, G, D, A, E, B, F♯, C♯）に決めるべきだとわかる。C♭ major, G♭ major, D♭ majorはそれぞれB major, F♯ major, C♯ majorが同主短調の存在する異名同音調となる。また、G♯ minor, D♯ minor, A♯ minorはそれぞれE♭ minor, B♭ minor, F minorが同主長調の存在する異名同音調となる。

調の主音のノート番号がnとして、

k = \left ( \left (7n + 4 \right ) \bmod 12 \right ) - 4

と定めることで、調のキー番号kを-4 \le k \le 7の範囲で決定できる。