ウイルス感染シミュレーターを作ったので、オーバーシュートを完全に理解した

新型コロナウイルスの問題で、専門家が使う「オーバーシュート」という言葉の意味が問題になっていた。

togetter.com

興味を持ったので、自分でも感染症の数理モデルを作り（グラフは参考にしたが、計算するための具体的な数式は見ていない。集団免疫率の定義を見たぐらいだ。）、シミュレーションを行ってみたところ、同様のグラフを得ることができた。ここに、簡単に説明をしておこうと思う。

留意点として、私は疫学の専門家ではないので、以下で使われている用語は疫学で使っているものと異なっているかもしれない。

docs.google.com

f:id:mandel59:20200325093514p:plain
再生産数=2のときのシミュレーション

再生産数は感染者1人がウイルスを伝染させうる人数のこと。ウイルスの性質で決まる、本来的な再生産数を基本再生産数といい、コロナウイルスではだいたい2～3ぐらいであると考えられているらしい。

1度感染した人間は免疫を獲得するとすれば、ワクチンが開発されていない限り、延べ感染者数=免疫獲得者数となる。免疫を獲得した人間にはもうウイルスが感染しないことから、次のような漸化式を立てて、感染者数の変化を考えることができる。（直接、感染者数や延べ感染者数=免疫獲得者数を扱うのは面倒があるので、それぞれ人口で割って、感染者率・延べ感染者数率=免疫獲得者率とする。）

感染者率' = 感染者率 \times 基本再生産数 \times (1 - 免疫獲得者率)

免疫獲得者率' = 免疫獲得者率 + 感染者率'

この式を眺めれば分かるが、感染者率は基本再生産数 \times (1 - 免疫獲得者率)が1を超えていればどんどん増えるし、1を下回ればどんどん減っていく。その境界となる免疫獲得者率の値を、集団免疫率という。

基本再生産数 \times (1 - 集団免疫率) = 1

式変形すれば

集団免疫率 = 1 - \frac{1}{基本再生産数}

これらの式から、免疫獲得者率=延べ感染者率が集団免疫率を下回っている間は、感染者は増え続け、延べ感染者率が集団免疫率を上回ったところで、ようやく感染者数が減少に転じるということがわかる。（わからなければ、シミュレーション結果のグラフを見て確認してほしい。上掲のグラフは基本再生産数が2の場合のシミュレーションで、集団免疫率は50%だ。免疫獲得率が50%のところで、感染者数が減少に転じている。）何もしなければ、社会の人口のうち集団免疫率の分の人間がウイルスに感染するまで、ウイルスの勢力は強まり続けるという、避けがたい運命が示されている。ウイルスの封じ込めができなくなった以上、どんな政策を行おうと、いずれ延べ感染者数は、人口の50%～66%に至るのだ。たとえ、新型コロナウイルスの致死率が数%程度だったとしても、大量の人間が死ぬことになる。

もはや、延べ感染者数の人口比が集団免疫率に至ることが避けられないのであれば、私たちは速やかに集団免疫率を目指して、感染するようにすべきなのだろうか？いや、違う。何もしなければ、集団免疫率を大幅に超えて感染者が発生してしまうことになるのだ。

集団が集団免疫を獲得した時点、すなわち、延べ感染者率が集団免疫率に達し、感染者数が減少に転じた時点で、自然と流行に終息に向かうというのは正しい。しかし、流行が終息に向かうというのは、直ちに終息するわけではなく、感染者数が0になるまでは、あらたな感染者が出続ける。シミュレーションでは延べ感染者率は約87%に至っており、集団免疫率とは大きな差が生じている。これこそが、「オーバーシュート」と呼ぶべき現象だ。

しかし、オーバーシュートを回避する方法はある。実効再生産数（感染者が実際に感染を広げる人数）を下げれば良い。つまり、衛生管理を徹底する、外出を避ける等の施策によって、人為的に実効再生産数を下げることができれば、延べ感染者率はより低い値に収束し、その時点で感染者数がほぼ0になる。延べ感染者率が集団免疫率に至った時、感染者がほぼ0である状況であれば、ここから元の生活に戻り、実効再生産数が上昇したとしても、免疫獲得者の割合が多く実効再生産数は1を下回るのでウイルスの流行はもはや拡大しない。（延べ感染者率が集団免疫率を下回った状態ではいけない。延べ感染者率が集団免疫率より少ない状況で、実効再生産数が基本再生産数に戻れば延べ感染者率が集団免疫率より少ない状況では、実効再生産数が1以上に戻りうるので、そこからまた流行が拡大することになる。）

実効再生産数を下げれば、感染者数の最大値も下がる。医療のキャパシティが有限である以上、このことも施策上重要な要素ではあるのだが、感染者数が医療のキャパシティを超えることをオーバーシュートと呼ぶわけではない。オーバーシュートは、延べ感染者数の割合が集団免疫率を超えて増えすぎてしまうことを指すのだ。延べ感染者数×死亡率=総死者数なのだから、延べ感染者数を最小化することは非常に重要だ。

以上が、是非とも実効再生産数を下げる政策を積極的に行わなければならない理屈だ。しかし、このような理屈をまともに書いている記事はほとんどない。医療従事者さえ、この理屈を正しく理解できていないから、オーバーシュートを誤用しているのだろうと思う。これは問題だ。自分でシミュレーションをやってみれば、上の理屈は容易に理解できるはずだ。

ウイルス感染シミュレーターといっても、Google Sheetsで簡単な数式を並べてグラフを作成するだけの、やり方を知っていれば誰でも作れるものだ。実際に自分でも、シミュレーションをして、パラメーターを変えて感染状況の変化を確認してみてほしい。

追記:

追記2 (2020-03-27): 上の記述で、「実効再生産数」が適切に使われていなかったので、訂正し、より正確な表現にした。